حل فعالیت صفحه 46 ریاضی هشتم

**الف) اندازه زاویه‌های خارجی:** زاویه خارجی هر رأس، مکمل زاویه داخلی همان رأس است (مجموع آنها $۱۸۰$ درجه می‌شود). - **مثلث قائم‌الزاویه (شکل وسط):** - زاویه خارجی رأس $۹۰^\circ$: $ ۱۸۰^\circ - ۹۰^\circ = ۹۰^\circ $ - زاویه خارجی رأس $۶۰^\circ$: $ ۱۸۰^\circ - ۶۰^\circ = ۱۲۰^\circ $ - زاویه خارجی رأس $۳۰^\circ$: $ ۱۸۰^\circ - ۳۰^\circ = ۱۵۰^\circ $ - **مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل راست):** - هر سه زاویه داخلی $۶۰^\circ$ هستند. بنابراین هر سه زاویه خارجی برابرند با: $ ۱۸۰^\circ - ۶۰^\circ = ۱۲۰^\circ $ **ب) مجموع زاویه‌های خارجی و رابطه میان آنها:** - **مثلث اول (نمونه):** $ ۱۴۰^\circ + ۷۰^\circ + ۱۵۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ - **مثلث دوم (قائم‌الزاویه):** $ ۹۰^\circ + ۱۲۰^\circ + ۱۵۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ - **مثلث سوم (متساوی‌الاضلاع):** $ ۱۲۰^\circ + ۱۲۰^\circ + ۱۲۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ **رابطه:** مشاهده می‌شود که **مجموع زاویه‌های خارجی در هر سه مثلث برابر با $۳۶۰$ درجه است.** این یک قانون کلی برای تمام چندضلعی‌های محدب است.

این دو زاویه خارجی با هم برابر هستند. دو دلیل برای این موضوع وجود دارد: ۱. **رابطه با زاویه داخلی:** هر دوی این زاویه‌های خارجی، **مکمل** زاویه داخلی رأس $A$ هستند. یعنی اندازه هر کدام از آنها برابر است با $ ۱۸۰^\circ - \hat{A} $. از آنجایی که هر دو با یک مقدار برابر هستند، پس خودشان نیز با هم مساوی‌اند. ۲. **زوایای متقابل به رأس:** این دو زاویه خارجی نسبت به یکدیگر **متقابل به رأس** هستند. طبق تعریف، زوایای متقابل به رأس همیشه با یکدیگر مساوی هستند.

یک راه ساده برای پیدا کردن اندازه هر زاویه خارجی در یک چندضلعی منتظم، استفاده از این قانون است که **مجموع تمام زوایای خارجی $۳۶۰$ درجه است**. در یک چندضلعی منتظم $n$-ضلعی، چون تمام زوایا برابرند، اندازه هر زاویه خارجی از تقسیم $۳۶۰$ بر تعداد اضلاع ($n$) به دست می‌آید. $ \text{اندازه هر زاویه خارجی} = \frac{۳۶۰^\circ}{n} $ - **مثلث متساوی‌الاضلاع ($n=۳$):** $ \text{اندازه زاویه خارجی} = \frac{۳۶۰^\circ}{۳} = ۱۲۰^\circ $ - **مربع ($n=۴$):** $ \text{اندازه زاویه خارجی} = \frac{۳۶۰^\circ}{۴} = ۹۰^\circ $ - **پنج‌ضلعی منتظم ($n=۵$):** $ \text{اندازه زاویه خارجی} = \frac{۳۶۰^\circ}{۵} = ۷۲^\circ $

برای هر شکل، با استفاده از ویژگی‌های آن، زاویه مجهول را محاسبه می‌کنیم. - **شکل سمت راست (متوازی‌الاضلاع):** در متوازی‌الاضلاع، زوایای مجاور مکمل یکدیگرند. پس زاویه داخلی مجاور زاویه $۶۰^\circ$ برابر است با $ ۱۸۰^\circ - ۶۰^\circ = ۱۲۰^\circ $. زاویه خارجی خواسته شده، مکمل این زاویه $۱۲۰^\circ$ است. پس: $ \text{زاویه مجهول} = ۱۸۰^\circ - ۱۲۰^\circ = ۶۰^\circ $ **راه سریع‌تر:** زاویه خارجی یک رأس در متوازی‌الاضلاع با زاویه داخلی رأس مقابلِ مجاور آن برابر است (به دلیل وجود خطوط موازی و زوایای تند و باز مساوی). - **شکل سمت چپ (مثلث متساوی‌الساقین):** ۱. ابتدا دو زاویه قاعده را پیدا می‌کنیم. چون مثلث متساوی‌الساقین است، این دو زاویه با هم برابرند. مجموع زوایای داخلی مثلث $۱۸۰^\circ$ است، پس: $ \text{مجموع دو زاویه قاعده} = ۱۸۰^\circ - ۷۰^\circ = ۱۱۰^\circ $ $ \text{اندازه هر زاویه قاعده} = \frac{۱۱۰^\circ}{۲} = ۵۵^\circ $ ۲. زاویه خواسته شده، زاویه خارجی یکی از این زوایای قاعده است. پس اندازه آن برابر است با: $ \text{زاویه مجهول} = ۱۸۰^\circ - ۵۵^\circ = ۱۲۵^\circ $ **راه سریع‌تر:** زاویه خارجی یک رأس مثلث، برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن است. پس: $ \text{زاویه مجهول} = ۷۰^\circ + ۵۵^\circ = ۱۲۵^\circ $